7강 시계열모형을 이용한 예측(1)

시계열모형 관련 검정

 

단위근 검정

• 비정상시계열에 대해 확률적 추세 여부를 검정
• 시계열의 추세변동 : 확률적 추세변동과 확정적 추세변동으로 구분
  • 확률적 추세변동 
    순수한 확률적 충격 결과, 서서히 움직이는 추세변동
    𝑌𝑡 = 𝑌𝑡₋₁ + ε𝑡
  • 확정적 추세변동
    시계열모형의 평균 자체가 시간의 함수
    𝑌𝑡 = ⍺ + β𝑡 + ε𝑡
  • 확정적, 확률적 추세변동
    𝑌𝑡 = ⍺ + β𝑡 + 𝑌𝑡₋₁  + ε𝑡

 

AR(1) 모형의 단위근 검정

• AR(1) 모형 : 단위근 존재 (Φ =1 인 경우)
• AR(1) 모형의 분산 : 단위근 존재, 분산 ∞
• 단위근 존재에 따른 시계열의 움직임
  •  |Φ₁| < 1 : 시계열 평균수준 수렴 (안정시계열)
  •  Φ₁ ≠ 1 : 시계열 평균수준 수렴하지 않음 
• 단위근을 가지는 시계열은 차분해 단위근을 제거 (안정시계열)

 

적분계열

• I(1) 적분계열
  단위근 존재, 1차 차분 시 단위근 제거
• I(𝑑) 적분계열
  𝑑-1차 차분까지 단위근 존재, 𝑑차 차분 시 단위근 제거 
• I(0) 적분계열
  단위근이 없는 안정시계열

 

단위근 검정 방법 

• DF(디키-풀러) 검정
  • 𝐻₀ : 𝛿 = 0 (단위근이 있다. 불안정시계열이다.)
    최소제곱법으로 추정 후 t검정 (기각 시 안정시계열)
    검정 기준
    1.  상수항과 확정적 추세 포함 
    2. 상수항만 포함
    3. 상수항과 확정적 추세를 포함하지 않음
• ADF(Adjust DF) 검정 (많이 사용)
  • DF 자기상관이 높음 (𝑝항에 시차변수를 줘 일부변경)
    시차항 𝑝 : AIC, BIC등 모형선택기준을 사용해 정함
• 필립스-페론 검정 (오차항 비모수적 방법)

 

비선형성검정

• 키넌의 검정 : n = 0여부 F검정
• 체이의 검정 : 키넌의 검정 확장 
• BDS 검정 : 혼동 동학을 파악하는 검정
  * 혼동 동학 : 비선형적 동향

 

이분산성 검정

• ARCH-LM 검정 : ARCH 형태 이분산성 검정
• McLoed and Li 검정 : 오차의 제곱항에 대한 륭-박스 검정

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ARIMA모형의 식별

박스와 젠킨스의 ARIMA 모형 작성의 개요

1. 모형의 식별 : 𝑝,𝑑,𝑞를 정하는 것
2. 모형의 추정 : 미지의 모수를 구함 
3. 모형의 진단 : 잔차가 Random한가

ARIMA 모형 작성의 개요

1. 시계열 안정화 (𝑑, 변수변환 결정)
2. 모형의 식별 (𝑝,𝑞 결정)
3. 모형의 추정 (𝜃, Φ, μ, 𝜎² 결정)
4. 모형진단 (ε의 Random성 확인)
   이 단계가 적절하지 않다면 2~4반복
5. 모형을 이용한 예측

ARIMA 모형의 식별

• 𝑝, 𝑑, 𝑞   결정하는 것
• 모형 간결의 원칙 (overfitting 방지를 위해)
  • 추천모형 : 저차의 ARIMA모형 
    𝑝, 𝑞 의 합이 3차 이하
    
    
• 안정화 : 변수변환, 차분
  • 변수변환 : 시계열의 분산이 시간에 따라 다를 때
    > 로그변환, 박스-콕스변환 등 수행
  • 차분 : 추세변동과 계절변동이 발견 
    > 일반적인 차분, 계절차분 등 수행
  • 안정시계열을 차분?
    > 과대차분 : 구조를 복잡하게하며 분산이 커짐 (악영향)
    
    
• 차분 후 안정화된 시계열은 ARMA(𝑝, 𝑞) 모형으로 표현 가능
  • 𝑝, 𝑞는 표본자기상관계수, 표본부분자기상관계수를 이용해 결정
  • AR(𝑝) 모형의 식별 : 표본부분자기상관계수로 식별
  • MA(𝑞) 모형의 식별 : 표본자기상관계수로 식별
  • ARMA(𝑝,𝑞) : 모형선택기준을 이용해 최적의 모형 식별
    모형선택방법
    후보 모형 중 모형선택기준(AIC, BIC)을 최소화 하는 𝑝,𝑞 선정
    모형 간결의 원칙에 부합하며 적합도가 높은 모형을 찾음
    • AIC : 𝑛㏑(𝜎^²) + 2(𝑝 + 𝑞)* 페널티항
    • BIC : 𝑛㏑(𝜎^²) + ㏑(𝑛) ·㏑(𝑝+𝑞)* 페널티항

 

계절 ARIMA 모형의 식별

• ARIMA(𝑞,𝑑,𝑝)(𝑃,𝐷,𝑄)𝑠
• 식별방법
  계절시차의 표본자기상관계수, 부분자기상관계수의 움직임으로 𝑃,𝐷,𝑄를 정함