8강 시계열모형을 이용한 예측(2)

ARIMA 모형의 추정

추정방법

• 아래 방법으로 모수값 추정
  • 최대가능도추정법
    가능도함수, 결합확률밀도함수 최대화하여 모수 추정
  • 최소제곱추정법(조건부/ 비조건부) 
    오차 제곱합을 가장 작게하는 모수 추정
• 통계(추정량)은 근사적으로 𝑡분포를 따름
  • 검정 : 모수들이 각각 0과 다른지 검정, 기각역 및 유의확률
  • 추정값 : 모수에 추정값 대입, 오차 제거하여 구체화
    
    

자동식별과 추정

• 하이드먼과 칸다카르
  ARIMA 모형의 (𝑝,𝑑,𝑞)(𝑃,𝐷,𝑄)𝑠를 자동식별 (근사적으로 𝑡분포)
  
  • 차분수 𝑑 : 단위근검정과 계절단위근검정을 반복 후 결정
  • AIC, AICc, BIC 모형선택기준을 최소로 하는 𝑝,𝑞 결정
    

 

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ARIMA 모형의 진단

• 진단과정 
  식별, 추정 단계 후 얻어진 모형이 타당한지 검토 (타당 시 예측에 사용)
  
  
• 진단내용
  아래 두 가지 모두 문제가 없을 때 모형 사용
  
  • 과대적합진단
    t 통계량이 1.96을 넘으면 유의(모형 사용가능)
    
    
  • 잔차분석
    잔차가 Random한지 확인 (백색잡음계열)
    검토방법
    • 잔차 도표 : 시각화해 확인
    • 상관도표와 부분상관도표
      잔차의 표본자기상관계수, 표본부분자기상관계수가 모두 구간 내에 있는가? (모두 0.05 이하 인가?)
      
    • 포트맨토 검정 : 륭-박스검정
    • 잔차의 스펙트럼 :
      스펙트럼이 백생잡음계열 처럼 평평하게 나타나는가?
      
      스펙트럼 이용 검정
      1. 피셔-카파 검정
      2. 코모고로프-스미르노프 검정

 

 

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ARIMA 모형의 예측

• 예측 시점에서 멀어지면 예측오차가 커짐
• 시계열모형의 예측은 단기예측에 유용, 장기예측에 부적당
• 예측오차 제곱의 기댓값(MSE) 최소화 과정을 통해 예측값 결정

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변동성 모형의 작성 및 예측

변동성

• 시간에 따라 변동성은 변경
• ARIMA 모형은 조건부 분산이 일정하다 가정 후 진행

ARCH 모형

• 시간에 따라 변하는 분산을 모형화

GARCH 모형

• ARCH 모형의 일반화
• '식별-추정-진단'의 절차를 거쳐 작성
• 모형의 적합성 판단
  • 두꺼운 꼬리를 가지는 경향 : 정규성 검정 실시
  • 조건부 이분산성 검정 : 시계열의 제곱에 자시상관이 존재여부 검정 (ARCH-LM) 검정)
  • 시계열에 ARCH형태의 이분산성 존재  > GARCH 모형 작성
• 진단 : 잔차 제곱의 상관도표, 륭-박스검정
• 진단결과가 괜찮다 (이분상성x, 독립적)

ARIMA + GARCH 모형

• GARCH 모형은 평균함수 : ARIMA 모형 또는 회귀모형으로 확정